Black–Scholes modell

A Black–Scholes modell a pénzpiac matematikai modellje, amely bizonyos pénzügyi eszközöket ír le. A segítségével meghatározható az európai opciók elméleti ára. A modell alapgondolata, hogy kockázatmentes pozíciót lehet elérni az ún. „delta hedgeléssel" (delta fedezeti ügylettel), azaz a mögöttes eszközök vásárlásával és eladásával. Az így beszerzett portfólió értéke ezt követően már a mögöttes eszközök árától független. Innen aztán megkapjuk az opció elméleti árát. Ez a modell az opciós ügyletek nagy elterjedését eredményezte, és az utóbbi évek egyik legjelentősebb pénzügyi modelljévé vált.

A modell feltételei
Ahogy minden modellnek, a Black–Scholes modellnek is vannak bizonyos feltételei, amelyeknek teljesülniük kell. Ez a következők:

  • Az arbitrázs lehetőségének a kizárása. A nyereség elérése érdekében a befektetőnek megfelelő kockázatot kell vállalnia
  • A befektető kockázatmentes tételért kölcsönt vehet fel
  • Tetszőleges számú részvény vásárolható és eladható
  • A kereskedés nem jár semmiféle utólagos kiadással

A kiindulási részvény ára a geometrikus Brown-mozgással összhangban mozog. Véletlenszerű mozgásról van szó, amely sztochasztikus számítással írható le. Ez azonban nem jelent közvetlenül ún. „random walk"-ot (véletlen sétát).

A részvény nem fizeti ki az osztalékot
A modell későbbi bővítése kiiktatott néhány feltételt. A modell alapján így meghatározhatók az osztalékok, a tranzakciós költségek és adók, de az amerikai opciók is.

A Black–Scholes egyenlet és képlet
A modell legfontosabb gondolata (azaz a portfólió kiegyensúlyozott deltájának elérése) egy parciális differenciálegyenlet segítségével írható le. Az egyenlet megoldásával megkapjuk a Black–Scholes képletet, amelyben négy változó szerepel – a kockázatmentes kamatláb, a mögöttes eszközök értéke, a lejárati idő és a részvényhozamok volatilitása.

Greeks
A greeks a pénzügyi elemzésben alkalmazott eszközök, amelyek lehetővé teszik az opciók árérzékenységének elemzését az említett négy változó egyikének alapján. Matematikailag a greeks a Black–Scholes formula parciális derivációja az adott változó alapján. Az alábbi táblázat a legfontosabbakat tünteti fel:

  • Greek – minek a változására érzékeny az opció ára:
  • Delta – a mögöttes eszközök ára
  • Vega – a részvényhozamok volatilitása
  • Ró – kockázatmentes kamatlábak
  • Théta – lejárati idő
A további greeks aztán a másod- és magasabb rendű parciális deriválások. Ezután a greek változásának sebességét méri, amelyet az első deriválásnál alkalmaztak. Pl. a gamma a delta deriválása a kiindulási aktívum (alaptermék) alapján.

A greeks a továbbiakban segíthetnek a Black–Scholes modell hozzáigazításánál.

Black–Scholes modell a gyakorlatban
A modell alapján kiszámított ár és a reális ár többé-kevésbé eltérhet egymástól. Ez az egyszerűsített feltételek rovására írható, amelyekkel a modell számol. Reális piaci környezetben pl. a részvényárak nem a fent említett geometrikus Brown-mozgáshoz igazodnak. Ennek a feltételnek köszönhetően aztán a modellben megjelenik a normális eloszlás függvénye. Ebből következik a részvényárak szélsőséges ingadozásának alábecslése.

A Black–Scholes modell továbbá feltételezi a kockázatmentes pozíció kialakulását a delta hedgelés révén. A valóságban azonban további kockázatok is megjelennek, amelyeket így nem lehet kiiktatni. Olyan kockázatokról van szó például, amelyek a nem kielégítő likviditásból (értékesítésből), a volatilitás megváltozásából stb. erednek.

Ezek a problémák azonban bizonyos mértékig beépíthetők a modellbe. Ehhez az eljáráshoz felhasználhatók a „greeks". Amennyiben a befektető a portfólióját nemcsak a delta, hanem további greeks alapján is hedgelni fogja, kiiktat egy újabb kockázati részt, amely pl. a kamatlábak mozgásából ered. A kockázat problematikus összetevőit, mint pl. az inlikviditás (értékesíthetetlenség), a modellen kívül kell „kézben tartani", pl. stressz-tesztek alkalmazásával.

Ahogy minden modell esetében érvényes, nagyon fontos tudni, mikor válik működésképtelenné a modell.